ALJABAR LINEAR

Aljabar Linear, pasti udah gak asing lagi sama mata kuliah ini dong ya. Kita udah pernah dapetin ini di SMA bukan? :)
Oke gak usah pake lama, langsung aja aku review sekarang.

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear.

Dalam Aljabar Linear membahas, antara lain :1 Persamaan Linear & Matriks

2 Determinan

3 Vektor dalam Ruang Euklide

Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2x2

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

 

Vektor dalam Ruang Euklide

Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.


u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_nPenjumlahan u + v didefinisikan oleh


u + v = (u₁ + v₂, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n)Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh


ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n)Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor


0 = (0, 0,...., 0)Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh


-u = (-u1, -u2, ...., -un)Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh


v – u = v + (-u)atau, dalam istilah komponen,


v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un) 

 Selamat menikmati! :) http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear